深度优先搜索（DFS、深搜）和广度优先搜索（BFS、广搜）

8个月前 (04-28)

前边介绍了有关图的 4 种存储方式，本节介绍如何对存储的图中的顶点进行遍历。常用的遍历方式有两种：深度优先搜索和广度优先搜索。

深度优先搜索（简称“深搜”或DFS）

图 1 无向图

深度优先搜索的过程类似于树的先序遍历，首先从例子中体会深度优先搜索。例如图 1 是一个无向图，采用深度优先算法遍历这个图的过程为：

首先任意找一个未被遍历过的顶点，例如从 V1 开始，由于 V1 率先访问过了，所以，需要标记 V1 的状态为访问过；

然后遍历 V1 的邻接点，例如访问 V2 ，并做标记，然后访问 V2 的邻接点，例如 V4 （做标记），然后 V8 ，然后 V5 ；

当继续遍历 V5 的邻接点时，根据之前做的标记显示，所有邻接点都被访问过了。此时，从 V5 回退到 V8 ，看 V8 是否有未被访问过的邻接点，如果没有，继续回退到 V4 ， V2 ， V1 ；

通过查看 V1 ，找到一个未被访问过的顶点 V3 ，继续遍历，然后访问 V3 邻接点 V6 ，然后 V7 ；

由于 V7 没有未被访问的邻接点，所有回退到 V6 ，继续回退 V3 ，到达 V1 ，发现没有未被访问的；

一步需要判断是否所有顶点都被访问，如果还有没被访问的，以未被访问的顶点为个顶点，继续依照上边的方式进行遍历。

根据上边的过程，可以得到图 1 通过深度优先搜索获得的顶点的遍历次序为：

V1 -> V2 -> V4 -> V8 -> V5 -> V3 -> V6 -> V7

所谓深度优先搜索，是从图中的一个顶点出发，每次遍历当前访问顶点的临界点，一直到访问的顶点没有未被访问过的临界点为止。然后采用依次回退的方式，查看来的路上每一个顶点是否有其它未被访问的临界点。访问完成后，判断图中的顶点是否已经全部遍历完成，如果没有，以未访问的顶点为起始点，重复上述过程。

深度优先搜索是一个不断回溯的过程。

采用深度优先搜索算法遍历图的实现代码为：

#include <stdio.h>
#define MAX_VERtEX_NUM 20                   //顶点的个数
#define VRType int                          //表示顶点之间的关系的变量类型
#define InfoType char                       //存储弧或者边额外信息的指针变量类型
#define VertexType int                      //图中顶点的数据类型
typedef enum{false,true}bool;               //定义bool型常量
bool visited[MAX_VERtEX_NUM];               //设置全局数组，记录标记顶点是否被访问过
typedef struct {
VRType adj;                             //对于无权图，用 1 或 0 表示是否相邻；对于带权图，直接为权值。
InfoType * info;                        //弧或边额外含有的信息指针
}ArcCell,AdjMatrix[MAX_VERtEX_NUM][MAX_VERtEX_NUM];
typedef struct {
VertexType vexs[MAX_VERtEX_NUM];        //存储图中顶点数据
AdjMatrix arcs;                         //二维数组，记录顶点之间的关系
int vexnum,arcnum;                      //记录图的顶点数和弧（边）数
}MGraph;
//根据顶点本身数据，判断出顶点在二维数组中的位置
int LocateVex(MGraph * G,VertexType v){
int i=0;
//遍历一维数组，找到变量v
for (; i<G->vexnum; i++) {
if (G->vexs[i]==v) {
break;
}
}
//如果找不到，输出提示语句，返回-1
if (i>G->vexnum) {
printf("no such vertex.\n");
return -1;
}
return i;
}
//构造无向图
void CreateDN(MGraph *G){
scanf("%d,%d",&(G->vexnum),&(G->arcnum));
for (int i=0; i<G->vexnum; i++) {
scanf("%d",&(G->vexs[i]));
}
for (int i=0; i<G->vexnum; i++) {
for (int j=0; j<G->vexnum; j++) {
G->arcs[i][j].adj=0;
G->arcs[i][j].info=NULL;
}
}
for (int i=0; i<G->arcnum; i++) {
int v1,v2;
scanf("%d,%d",&v1,&v2);
int n=LocateVex(G, v1);
int m=LocateVex(G, v2);
if (m==-1 ||n==-1) {
printf("no this vertex\n");
return;
}
G->arcs[n][m].adj=1;
G->arcs[m][n].adj=1;//无向图的二阶矩阵沿主对角线对称
}
}
int FirstAdjVex(MGraph G,int v)
{
//查找与数组下标为v的顶点之间有边的顶点，返回它在数组中的下标
for(int i = 0; i<G.vexnum; i++){
if( G.arcs[v][i].adj ){
return i;
}
}
return -1;
}
int NextAdjVex(MGraph G,int v,int w)
{
//从前一个访问位置w的下一个位置开始，查找之间有边的顶点
for(int i = w+1; i<G.vexnum; i++){
if(G.arcs[v][i].adj){
return i;
}
}
return -1;
}
void visitVex(MGraph G, int v){
printf("%d ",G.vexs[v]);
}
void DFS(MGraph G,int v){
visited[v] = true;//标记为true
visitVex( G,  v); //访问第v 个顶点
//从该顶点的个边开始，一直到一个边，对处于边另一端的顶点调用DFS函数
for(int w = FirstAdjVex(G,v); w>=0; w = NextAdjVex(G,v,w)){
//如果该顶点的标记位false，证明未被访问，调用深度优先搜索函数
if(!visited[w]){
DFS(G,w);
}
}
}
//深度优先搜索
void DFSTraverse(MGraph G){//
int v;
//将用做标记的visit数组初始化为false
for( v = 0; v < G.vexnum; ++v){
visited[v] = false;
}
//对于每个标记为false的顶点调用深度优先搜索函数
for( v = 0; v < G.vexnum; v++){
//如果该顶点的标记位为false，则调用深度优先搜索函数
if(!visited[v]){
DFS( G, v);
}
}
}
int main() {
MGraph G;//建立一个图的变量
CreateDN(&G);//初始化图
DFSTraverse(G);//深度优先搜索图
return 0;
}

以图 1 为例，运行结果为：

8,9
1
2
3
4
5
6
7
8
1,2
2,4
2,5
4,8
5,8
1,3
3,6
6,7
7,3

1 2 4 8 5 3 6 7

广度优先搜索

广度优先搜索类似于树的层次遍历。从图中的某一顶点出发，遍历每一个顶点时，依次遍历其所有的邻接点，然后再从这些邻接点出发，同样依次访问它们的邻接点。按照此过程，直到图中所有被访问过的顶点的邻接点都被访问到。

还需要做的操作就是查看图中是否存在尚未被访问的顶点，若有，则以该顶点为起始点，重复上述遍历的过程。

还拿图 1 中的无向图为例，假设 V1 作为起始点，遍历其所有的邻接点 V2 和 V3 ，以 V2 为起始点，访问邻接点 V4 和 V5 ，以 V3 为起始点，访问邻接点 V6 、 V7 ，以 V4 为起始点访问 V8 ，以 V5 为起始点，由于 V5 所有的起始点已经全部被访问，所有直接略过， V6 和 V7 也是如此。

以 V1 为起始点的遍历过程结束后，判断图中是否还有未被访问的点，由于图 1 中没有了，所以整个图遍历结束。遍历顶点的顺序为：

V1 -> V2 -> v3 -> V4 -> V5 -> V6 -> V7 -> V8

广度优先搜索的实现需要借助队列这一特殊数据结构，实现代码为：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#define MAX_VERtEX_NUM 20                   //顶点的个数
#define VRType int                          //表示顶点之间的关系的变量类型
#define InfoType char                       //存储弧或者边额外信息的指针变量类型
#define VertexType int                      //图中顶点的数据类型
typedef enum{false,true}bool;               //定义bool型常量
bool visited[MAX_VERtEX_NUM];               //设置全局数组，记录标记顶点是否被访问过
typedef struct Queue{
VertexType data;
struct Queue * next;
}Queue;
typedef struct {
VRType adj;                             //对于无权图，用 1 或 0 表示是否相邻；对于带权图，直接为权值。
InfoType * info;                        //弧或边额外含有的信息指针
}ArcCell,AdjMatrix[MAX_VERtEX_NUM][MAX_VERtEX_NUM];
typedef struct {
VertexType vexs[MAX_VERtEX_NUM];        //存储图中顶点数据
AdjMatrix arcs;                         //二维数组，记录顶点之间的关系
int vexnum,arcnum;                      //记录图的顶点数和弧（边）数
}MGraph;
//根据顶点本身数据，判断出顶点在二维数组中的位置
int LocateVex(MGraph * G,VertexType v){
int i=0;
//遍历一维数组，找到变量v
for (; i<G->vexnum; i++) {
if (G->vexs[i]==v) {
break;
}
}
//如果找不到，输出提示语句，返回-1
if (i>G->vexnum) {
printf("no such vertex.\n");
return -1;
}
return i;
}
//构造无向图
void CreateDN(MGraph *G){
scanf("%d,%d",&(G->vexnum),&(G->arcnum));
for (int i=0; i<G->vexnum; i++) {
scanf("%d",&(G->vexs[i]));
}
for (int i=0; i<G->vexnum; i++) {
for (int j=0; j<G->vexnum; j++) {
G->arcs[i][j].adj=0;
G->arcs[i][j].info=NULL;
}
}
for (int i=0; i<G->arcnum; i++) {
int v1,v2;
scanf("%d,%d",&v1,&v2);
int n=LocateVex(G, v1);
int m=LocateVex(G, v2);
if (m==-1 ||n==-1) {
printf("no this vertex\n");
return;
}
G->arcs[n][m].adj=1;
G->arcs[m][n].adj=1;//无向图的二阶矩阵沿主对角线对称
}
}
int FirstAdjVex(MGraph G,int v)
{
//查找与数组下标为v的顶点之间有边的顶点，返回它在数组中的下标
for(int i = 0; i<G.vexnum; i++){
if( G.arcs[v][i].adj ){
return i;
}
}
return -1;
}
int NextAdjVex(MGraph G,int v,int w)
{
//从前一个访问位置w的下一个位置开始，查找之间有边的顶点
for(int i = w+1; i<G.vexnum; i++){
if(G.arcs[v][i].adj){
return i;
}
}
return -1;
}
//操作顶点的函数
void visitVex(MGraph G, int v){
printf("%d ",G.vexs[v]);
}
//初始化队列
void InitQueue(Queue ** Q){
(*Q)=(Queue*)malloc(sizeof(Queue));
(*Q)->next=NULL;
}
//顶点元素v进队列
void EnQueue(Queue **Q,VertexType v){
Queue * element=(Queue*)malloc(sizeof(Queue));
element->data=v;
element->next = NULL;
Queue * temp=(*Q);
while (temp->next!=NULL) {
temp=temp->next;
}
temp->next=element;
}
//队头元素出队列
void DeQueue(Queue **Q,int *u){
(*u)=(*Q)->next->data;
(*Q)->next=(*Q)->next->next;
}
//判断队列是否为空
bool QueueEmpty(Queue *Q){
if (Q->next==NULL) {
return true;
}
return false;
}
//广度优先搜索
void BFSTraverse(MGraph G){//
int v;
//将用做标记的visit数组初始化为false
for( v = 0; v < G.vexnum; ++v){
visited[v] = false;
}
//对于每个标记为false的顶点调用深度优先搜索函数
Queue * Q;
InitQueue(&Q);
for( v = 0; v < G.vexnum; v++){
if(!visited[v]){
visited[v]=true;
visitVex(G, v);
EnQueue(&Q, G.vexs[v]);
while (!QueueEmpty(Q)) {
int u;
DeQueue(&Q, &u);
u=LocateVex(&G, u);
for (int w=FirstAdjVex(G, u); w>=0; w=NextAdjVex(G, u, w)) {
if (!visited[w]) {
visited[w]=true;
visitVex(G, w);
EnQueue(&Q, G.vexs[w]);
}
}
}
}
}
}
int main() {
MGraph G;//建立一个图的变量
CreateDN(&G);//初始化图
BFSTraverse(G);//广度优先搜索图
return 0;
}

例如，使用上述程序代码遍历图 1 中的无向图，运行结果为：

8,9
1
2
3
4
5
6
7
8
1,2
2,4
2,5
4,8
5,8
1,3
3,6
6,7
7,3

1 2 3 4 5 6 7 8

总结

本节介绍了两种遍历图的方式：深度优先搜索算法和广度优先搜索算法。深度优先搜索算法的实现运用的主要是回溯法，类似于树的先序遍历算法。广度优先搜索算法借助队列的先进先出的特点，类似于树的层次遍历。

阅读

图的深度优先搜索和广度优先搜索	图文并茂的介绍了两种搜索算法的具体实现过程
深度优先搜索（DNS）和广度优先搜索（BFS）	详细介绍了两种搜索算法的实现过程
图的遍历算法（深度优先算法DFS和广度优先算法BFS）	详细介绍了两种算法的实现过程，并配备的 C++ 的实现代码
广度优先搜索（BFS）和深度优先搜索（DFS）的应用实例	从实例出发介绍两种搜索算法