构建线性回归模型

本节讲解如何构建线性回归算法中的“线性模型”，所谓“线性”其实就是一条“直线”。因此，本节开篇首先普及一下初中的数学知识“一次函数”。

一次函数

一次函数就是最简单的“线性模型”，其直线方程表达式为 y = kx + b，其中 k 表示斜率，b 表示截距，x 为自变量，y 表示因变量。下面展示了 y = 2x + 3 的函数图像：

函数中斜率 k 与 截距 b 控制着“直线”的“旋转”与“平移”。如果斜率 k 逐渐减小，则“直线”会向着“顺时针”方向旋转，为 k= 0 的时候与 x 轴平行。截距 b 控制“直接”的上下平移，b 为正数则向上平移，b 为负数则表示向下平移。

在机器学习中斜率 k 通常用 w 表示，也就是权重系数，因此“线性方程”通过控制 w 与 b 来实现“直线”与数据点程度的“拟”。如下图（黑色 x 号代表数据样本）所示：

线性方程不能完全等同于“直线方程”，因为前者可以描述多维空间内直接，而后者只能描述二维平面内的 x 与 y 的关系。

构建线性模型

在线性回归问题中数据样本会呈现“线性”分布的态势，因此我们使用“线性方程”来程度的“拟数据”。线性方程预测的结果具有连续性，下面通过示例简单说明：小亮今年 8 岁，去年 7 岁，前年 6 岁，那么他明年几岁呢？估计你闭着眼都能想到答案，但是我们要从机器学习的角度去看待这个问题。

首先年龄、时间是一组连续性的数据，也就是因变量随着自变量规律性地连续增长，显然它是一个“回归问题”。下面把上述数据以二维数组的形式表示出来，构建一个数据集，如下所示：

[[2021,8],
[2020,7],
[2019,6]]

我们知道两个点就可以确定一条“直线”，因此将两组数据带入 y = kx + b，最终求得“线程方程”：

y = x - 2013

上述函数就是所谓的“假设函数”，通过它即可实现对结果的预测。这个函数的图像如下所示：

从上述函数图像可以看出，直线对数据样本恰好“拟”。这是最标准的拟直线，通过它就可以“预测”出小亮明年的年龄了。上述示例就构建了一个简单的的“线性模型”。读到这里你会惊叹“怎么如此简单”，其实线性模型就是这么简单。对于机器学习而言，最关键的就是“学习”，在大量的数据中，通过不断优化参数，找到一条的拟“直线”，最终预测出一个理想的结果。

提示：上述示例是一个理想化的“线性模型”，在实际应用中要复杂的多，不过“万变不离其宗”。

机器学习是一门数学、统计学、计算机科学的结技术，因此它有着独特的知识体系，比如会将数据集分为“训练集”与“测试集”，而且还会通过“损失函数”来不断优化预测结果，关于这些知识会在后需内容详细介绍。