三角形的边长公式题,等边三角形边长公式图

三角形的边长公式题,等边三角形边长公式图

H12.点P在等边△ABC内部，且PA=6，PB=8，PC=10，求：（1）△PBC的面积；（2）以等边三角形的边长a为边长的正方形的面积。

1.等边△ABC被3个三角形所填充：△PAB，△PAC，△PBC，所以等边三角形ABC的面积等于这3个三角形面积之和；

2.将△PAB绕点B顺时针旋转60°，得到△DBC，△DBC与△PBC组成四边形BDCP；

3.四边形BDCP又可以视为△PCD与△PBD构成的；

4.可以判断：△PBD为等边三角形，△PDC为直角三角形；

5.可以得到△DBC中∠BDC=150°，进而求出其高和面积；

6. △PBC的面积=四边形BDCP的面积-△DBC的面积；

7.同理可以求出△PAB和△PAC的面积；

8.等边△ABC的面积=△PAB的面积+△PAC的面积+△PBC的面积，

同时等边△ABC的面积=1/2a^2sin60°；

9.建立方程，即可求出a的平方；

10.正方形的面积=a的平方。

（1）将△PAB绕点B顺时针旋转60°，得到△DBC，（如下图）

连接PD，显然△PAB≌DCB，

因而BP=BD，∠PBD=60°，

所以△PBD是等边三角形，∠PDB=60°，

即PD=PB=8，PA=DC=6，PC=10，

PD^2+DC^2=64+36=100, PC^2=100,

所以PD^2+DC^2=PC^2,

所以△PDC为直角三角形，∠PDC=90°，

在△BDC中，∠BDC=90°+60°=150°，

作CE⊥BD的延长线，垂足为E，

在Rt△CDE中，

∠CDE=180°-150°=30°，DC=6，

则CE=1/2DC=3，

所以△BDC的面积=1/2BD×CE=12，

Rt△PDC的面积=1/2PD×CD=24，

等边△PBD的面积

=1/2PB^2sin60°=16√3，

四边形BDCP的面积=24+16√3，

四边形BDCP的面积

=△BDC的面积+△PBC的面积，

则24+16√3=12+△PBC的面积，

所以△PBC的面积=12+16√3，

△PAB的面积=△BDC的面积=12。

（2）同理求出△PAC的面积=12+9√3，

等边△ABC的面积

=△PAB的面积+△PAC的面积+△PBC的面积，

=12+9√3+12+12+16√3=36+25√3，

又等边△ABC的面积=1/2a^2sin60°，

所以√3/4 a^2=36+25√3，

解得正方形的面积=a的平方=100+48√3。

附：条友天外人外，发现a的平方可以用勾股定理直接求，并且指出文中计算有误，特表示感谢!文中结果已更新。

在Rt△BCE中，

BC^2=3^2+（8+3√3）^2

=100+48√3

a^2=100+48√3。

1.本题有较强的技巧性，过程较为繁琐。抓住60°，利用旋转变换，等到等边三角形和直角三角形，以及由这两个三角形组而成的四边形；利用上述四边形的两条对角线，重新分割成两个三角形；四边形的面积可求，两种方式分割而成4个三角形的面积，有3个可求，1个未知即为所求。

2.本题考查的知识点：旋转变换，全等，勾股定理及其实逆定理，三角形的面积，等边三角形的边长与其面积的关系，正方形的面积，割补法求面积，方程，分母有理化，特殊角的三角函数值，钝角三角形的高的画法等。