勾股定理的发展史

勾股定理的发展史赤井秀一~ 勾股定理 勾股定理是一个基本的几何定理，指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
中国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一长直角边为股，斜边为弦，所以称这个定理为勾股定理，也有人称商高定理。
勾股定理现约有500种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。
勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结的纽带之一。
在中国，商朝时期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例。
在西方，最早提出并证明此定理的为公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，他用演绎法证明了直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和。
定义在平面上的一个直角三角形中，两个直角边边长的平方加起来等于斜边长的平方。
如果设直角三角形的两条直角边长度分别是a和  b，斜边长度是c，那么可以用数学语言表达：a²＋b²＝c²勾股定理是余弦定理中的一个特例 赵爽弦图《九章算术》中，赵爽描述此图：“勾股各自乘，并之为玄实。
开方除之，即玄。
加菲尔德证法加菲尔德在证出此结论5年后，成为美国第20任总统，所以人们又称其为“总统证法，  该证明为加菲尔德证法的变式。
如果将大正方形边长为c的小正方形沿对角线切开，则回到了加菲尔德证 法。
相反，若将上图中两个梯形拼在一起，就变为了此证明方法。
大正方形的面积等于中间正方形的面积加上四个三角形的面积, 即2ab＋c²＝a²＋b²＋2ab c²＝a²＋b² 青朱出入图青朱出入图，是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理的几何证明法，特色鲜明、通俗易懂。
刘徽描述此图，“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不动也，成弦方之幂。
开方除之，即弦也。
”其大意为，一个任意直角三角形，以勾宽作红色正方形即朱方，以股长作青色正方形即青方。
将朱方、青方两个正方形对齐底边排列，再以盈补虚，分割线内不动，线外则“各从其类”，以成弦的正方形即弦方，弦方开方即为弦长。
欧几里得证法在欧几里得的《几何原本》一书中给出勾股定理的以下证明。
设△ABC为一直角三角形，其中A为直角。
从A点划一直线对边，使其垂直于对边。
延长此线把对边上的正方形一分为二，其面积分别与其余两个正方形相等从A点划一直线对边，使其垂直于对边。
延长此线把对边上的正方形一分为二，把上方的两个正方形，通过等高同底的三角形，以其面积关系，转换成下方两个同等面积的长方形。
 欧几里得证法设△ABC为一直角三角形，其直角为∠CAB。
其边为BC、AB和CA，依序绘成四方形CBDE、BAGF和ACIH。
画出过点A之BD、CE的平行线，分别垂直BC和DE于K、L。
分别连接CF、AD，形成△BCF、△BDA。
∠CAB和∠BAG都是直角，因此C、A和G共线，同理可证B、A和H共线。
∠CBD和∠FBA都是直角，所以∠ABD=∠FBC。
因为AB㷻，BD㶼，所以△ABD≌△FBC。
因为A与K和L在同一直线上，所以四边形BDLKϒ△ABD。
因为C、A和G在同一直线上，所以正方形BAGFϒ△FBC。
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定理用途已知直角三角形两边求解第三边，或者已知三角形的三边长度，证明该三角形为直角三角形或用来证明该三角形内两边垂直。
利用勾股定理求线段长度这是勾股定理的最基本运用。
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