分赌注问题与概率论的起源
1年前 (2024-04-21)
分赌注问题与概率论的起源白志惠 概率论起源于博弈问题。
1654年，职业赌徒德·梅累向法国数学家帕斯卡（B.Pascal，1623-1662）提出一个使他苦恼很久的分赌本问题——甲、乙两赌徒赌技相同，各出赌注50法郎，每局中无平局。
他们约定，谁先赢三局则得到全部100法郎的赌本。
当甲赢了两局，乙赢了一局时，因故要中止。
那么这100法郎如何分才算公平？ 【法国】帕斯卡（B.Pascal，1623-1662） 帕斯卡与法国另一位大数学家费马（Fermat，1601-1665）在一系列通信中就这一问题展开了讨论。
【法国】费马（Fermat, 1601～1665） 事实上，很容易设想出以下两种分法：（1）甲得100·(12) 法郎，乙得100·(12) 法郎；（2）甲得100·(23) 法郎，乙得100·(13) 法郎。
种分法考虑到甲、乙两人赌技相同，就平均分配，没有顾及甲已经比乙多赢一局这一个现实，对甲显然不公平。
第二种分法尊重了已经进行的三局比赛结果，但没有考虑如果继续比下去的话又会有怎样的可能，即没有顾及两人在现有基础上对比赛结果的一种期待。
那么，这赌注到底怎样分才更理呢？试想，假如能继续比下去的话，多再有两局必可结束—— 若第四局甲胜（概率为12），则甲因先胜三局而赢得所有赌注；若第四局乙胜，两人已成2:2的局面，于是第五局将成为决胜局，当且仅当甲胜这一局时，他赢得所有赌注（甲在第四局负而第五局胜的概率为(12)·(12)㴔 ）。
若设甲的最终所得为X ，则｛X｝(赢得所有赌注)意味着“甲在第四局胜”或“在第四局负而在第五局胜”，将两类情形的概率相加，得 P(X)㴒+14㴴 于是，X的分布律为 从而甲的“期望” 所得应为0·(14)+100·(34)㵵 法郎；乙的“期望”所得应为100-75㴥法郎。
这种分赌注的方法照顾到了已赌结果，又包括了再赌下去的一种“期望”，自然比前两种方法都更为理，使甲乙双方都乐于接受。
这就是“数学期望”这个名称的由来，其实这个名称改为“均值”或许更形象易懂一些，就上例而言，也就是再赌下去的话，在基于各种可能情形的“平均”意义下，甲可以赢75法郎。
【荷兰】惠更斯（C.Huygens，1629-1695） 后来，帕斯卡和费马的通信引起了荷兰数学家惠更斯（C.Huygens，1629-1695）的兴趣，后者在1657年发表的《论中的计算》是最早的概率论著作。
这些数学家的著述中所出现的批概率论概念（如数学期望）与定理（如概率加法、乘法定理）标志着概率论的诞生。
1654年，职业赌徒德·梅累向法国数学家帕斯卡（B.Pascal，1623-1662）提出一个使他苦恼很久的分赌本问题——甲、乙两赌徒赌技相同，各出赌注50法郎，每局中无平局。
他们约定，谁先赢三局则得到全部100法郎的赌本。
当甲赢了两局，乙赢了一局时，因故要中止。
那么这100法郎如何分才算公平？ 【法国】帕斯卡（B.Pascal，1623-1662） 帕斯卡与法国另一位大数学家费马（Fermat，1601-1665）在一系列通信中就这一问题展开了讨论。
【法国】费马（Fermat, 1601～1665） 事实上，很容易设想出以下两种分法：（1）甲得100·(12) 法郎，乙得100·(12) 法郎；（2）甲得100·(23) 法郎，乙得100·(13) 法郎。
种分法考虑到甲、乙两人赌技相同，就平均分配，没有顾及甲已经比乙多赢一局这一个现实，对甲显然不公平。
第二种分法尊重了已经进行的三局比赛结果，但没有考虑如果继续比下去的话又会有怎样的可能，即没有顾及两人在现有基础上对比赛结果的一种期待。
那么，这赌注到底怎样分才更理呢？试想，假如能继续比下去的话，多再有两局必可结束—— 若第四局甲胜（概率为12），则甲因先胜三局而赢得所有赌注；若第四局乙胜，两人已成2:2的局面，于是第五局将成为决胜局，当且仅当甲胜这一局时，他赢得所有赌注（甲在第四局负而第五局胜的概率为(12)·(12)㴔 ）。
若设甲的最终所得为X ，则｛X｝(赢得所有赌注)意味着“甲在第四局胜”或“在第四局负而在第五局胜”，将两类情形的概率相加，得 P(X)㴒+14㴴 于是，X的分布律为 从而甲的“期望” 所得应为0·(14)+100·(34)㵵 法郎；乙的“期望”所得应为100-75㴥法郎。
这种分赌注的方法照顾到了已赌结果，又包括了再赌下去的一种“期望”，自然比前两种方法都更为理，使甲乙双方都乐于接受。
这就是“数学期望”这个名称的由来，其实这个名称改为“均值”或许更形象易懂一些，就上例而言，也就是再赌下去的话，在基于各种可能情形的“平均”意义下，甲可以赢75法郎。
【荷兰】惠更斯（C.Huygens，1629-1695） 后来，帕斯卡和费马的通信引起了荷兰数学家惠更斯（C.Huygens，1629-1695）的兴趣，后者在1657年发表的《论中的计算》是最早的概率论著作。
这些数学家的著述中所出现的批概率论概念（如数学期望）与定理（如概率加法、乘法定理）标志着概率论的诞生。